L’abaque à cinq lignes est un instrument de calcul élémentaire dont des représentations figurent sur plusieurs reliefs grecs antiques. Cette page en propose une simulation, basée sur les travaux de V. Dasen et J. Gavin, qui permet d’en comprendre le fonctionnement (plus d’explications en bas de page, et versions 🇮🇹 et 🇬🇧).
Utiliser de préférence un ordinateur ou une tablette (l’écran de smartphone est trop petit!).
L’abaque grec est une table de calcul sur laquelle on déplace des petits cailloux, les psephoi, ou des jetons pour effectuer des opérations arithmétiques. La table est divisée en lignes horizontales représentant les cinq grandes unités de la numération grecque: unités, dizaines, centaines, milliers et myriades (dizaines de milliers). Un jeton placé sur une ligne vaut une fois la valeur de cette ligne; placé entre deux lignes, il en vaut cinq fois la valeur inférieure – ce qui limite le nombre de jetons nécessaires et accélère les calculs.
Pour additionner deux nombres, on les dispose de part et d’autre de la table, puis on rapproche les jetons ligne par ligne en regroupant les excédents vers la ligne supérieure. La soustraction, la multiplication et la division s’effectuent par des déplacements successifs selon des procédures que les calculateurs expérimentés exécutaient avec rapidité.
L’abaque était l’outil ordinaire des marchands, des banquiers et des administrateurs. Mais sa structure – cinq lignes horizontales – était identique à celle du plateau du jeu des Cinq Lignes (pente grammai), et les mêmes mots grecs, abax, psephoi, désignaient indifféremment les objets du jeu et du calcul. Photius le résume sans détour: sur le petit abaque, «ils jouaient aux dés et faisaient les calculs». Les maîtres d’école en tiraient parti : selon Platon, les mathématiques devaient être enseignées aux enfants de manière ludique, et la leçon de calcul pouvait fort bien se terminer en partie de jeu.
Un usage pédagogique aujourd’hui
L’abaque grec peut encore être utile pour enseigner les bases du calcul. Son principe est simple: un nombre se voit et se manipule. Les jetons que l’on déplace permettent de comprendre concrètement ce qu’est une retenue dans une addition ou un emprunt dans une soustraction.
L’abaque aide aussi à comprendre la logique du calcul décimal: un jeton change de valeur selon la ligne où il se trouve. Il permet de faire les quatre opérations de base sans passer d’abord par l’écriture, ce qui peut aider certains élèves. Il oblige enfin à ralentir et à suivre chaque étape du calcul, au lieu de donner seulement le résultat comme une calculatrice.
C’est aussi une porte d’entrée vers l’histoire des sciences: il montre comment on calculait avant les chiffres arabes et avant l’usage du zéro.
Pour en savoir plus
- Dasen, Véronique et Gavin, Jérôme. « Game Board or Abacus? Greek Counter Culture Revisited. » Board Game Studies Journal, 16, 1, 2022, p. 251-307.
- Dasen, Véronique. «Chapitre VI. Jeu ou abaque ?». Le Jeu comme métaphore, Presses universitaires de Liège, 2024.
- Science et Avenir, ‘Voici la plus ancienne représentation d’une leçon de maths datant de la Grèce antique (et vous allez tout comprendre !)’, 6 mai 2022.
- O. Lapirot, ‘La plus vieille leçon de maths’, Interview de V. Dasen et J. Gavin, Sciences et Vie Junior, 399, 2022, 38-41.
Une animation réalisée pour l’exposition ‘De la case au pixel’ au Musée Suisse du Jeu. https://museedujeu.ch/fr/. Cela fait partie du projet : Locus Ludi. The Cultural Fabric of Play and Games in Classical Antiquity. https://locusludi.ch.
🇮🇹 Versione italiana
Abaco: calcola come un Greco!
L’abaco a cinque linee è uno strumento di calcolo elementare le cui rappresentazioni compaiono su diversi rilievi greci antichi. Questa pagina ne propone una simulazione, basata sugli studi di V. Dasen e J. Gavin, che permette di comprenderne il funzionamento.
L’abaco greco è una tavola di calcolo sulla quale si spostano piccoli sassolini, le psephoi, o gettoni per effettuare operazioni aritmetiche. La tavola è divisa in linee orizzontali che rappresentano le cinque grandi unità della numerazione greca: unità, decine, centinaia, migliaia e miriadi (decine di migliaia). Un gettone posto su una linea vale una volta il valore di quella linea; posto tra due linee, ne vale cinque volte il valore inferiore – il che limita il numero di gettoni necessari e accelera i calcoli.
Per sommare due numeri, li si dispone ai due lati della tavola, poi si avvicinano i gettoni linea per linea, raggruppando le eccedenze verso la linea superiore. La sottrazione, la moltiplicazione e la divisione si effettuano tramite spostamenti successivi secondo procedure che i calcolatori esperti eseguivano con rapidità.
L’abaco era lo strumento ordinario di mercanti, banchieri e amministratori. Ma la sua struttura – cinque linee orizzontali – era identica a quella del tabellone del gioco delle Cinque Linee (pente grammai), e le stesse parole greche, abax, psephoi, designavano indifferentemente gli oggetti del gioco e del calcolo. Fozio lo riassume senza mezzi termini: sul piccolo abaco, «giocavano ai dadi e facevano i calcoli». I maestri di scuola ne traevano vantaggio: secondo Platone, la matematica doveva essere insegnata ai bambini in modo ludico, e la lezione di calcolo poteva benissimo concludersi con una partita.
Un uso didattico oggi
L’abaco greco può ancora essere utile per insegnare le basi del calcolo. Il suo principio è semplice: un numero si vede e si manipola. I gettoni che si spostano permettono di comprendere concretamente cos’è un riporto in un’addizione o un prestito in una sottrazione.
L’abaco aiuta anche a comprendere la logica del calcolo decimale: un gettone cambia valore a seconda della linea in cui si trova. Permette di eseguire le quattro operazioni di base senza passare prima dalla scrittura, il che può aiutare alcuni allievi. Obbliga infine a rallentare e a seguire ogni fase del calcolo, invece di fornire soltanto il risultato come una calcolatrice.
È anche una porta d’accesso alla storia delle scienze: mostra come si calcolava prima delle cifre arabe e prima dell’uso dello zero.
Per saperne di più
- Dasen, Véronique e Gavin, Jérôme. « Game Board or Abacus? Greek Counter Culture Revisited. » Board Game Studies Journal, 16, 1, 2022, p. 251-307.
- Dasen, Véronique. «Chapitre VI. Jeu ou abaque ?». Le Jeu comme métaphore, Presses universitaires de Liège, 2024.
- Science et Avenir, ‘Voici la plus ancienne représentation d’une leçon de maths datant de la Grèce antique (et vous allez tout comprendre !)’, 6 maggio 2022.
- O. Lapirot, ‘La plus vieille leçon de maths’, Intervista a V. Dasen e J. Gavin, Sciences et Vie Junior, 399, 2022, 38-41.
🇬🇧 English version
Abacus: calculate like a Greek!
The five-line abacus is a basic calculating instrument, depictions of which appear on several ancient Greek reliefs. This page offers a simulation of it, based on the work of V. Dasen and J. Gavin, allowing visitors to understand how it works.
The Greek abacus is a reckoning board on which small pebbles, the psephoi, or counters are moved to carry out arithmetical operations. The board is divided into horizontal lines representing the five main units of Greek numeration: units, tens, hundreds, thousands and myriads (tens of thousands). A counter placed on a line is worth once the value of that line; placed between two lines, it is worth five times the value of the line below – which limits the number of counters required and speeds up calculations.
To add two numbers, they are arranged on either side of the board, and the counters are then brought together line by line, with the surplus grouped and carried up to the line above. Subtraction, multiplication and division were carried out through successive movements following procedures that experienced calculators performed with speed.
The abacus was the ordinary tool of merchants, bankers and administrators. But its structure – five horizontal lines – was identical to that of the board used for the game of Five Lines (pente grammai), and the same Greek words, abax, psephoi, referred equally to the objects of the game and of the calculation. Photius sums it up bluntly: on the small abacus, ‘they played dice and did their sums’. Schoolmasters made use of this: according to Plato, mathematics was to be taught to children in a playful manner, and a calculation lesson could very well end in a game.
A teaching tool today
The Greek abacus can still be useful for teaching the basics of calculation. Its principle is simple: a number is seen and handled. The counters that are moved make it possible to grasp concretely what carrying means in addition or what borrowing means in subtraction.
The abacus also helps in understanding the logic of decimal calculation: a counter changes value depending on the line it sits on. It allows the four basic operations to be carried out without first passing through written notation, which can help some pupils. Finally, it forces one to slow down and follow each step of the calculation, rather than simply giving the result as a calculator would.
It is also a gateway to the history of science: it shows how calculations were done before Arabic numerals and before the use of zero.
Further reading
- Dasen, Véronique and Gavin, Jérôme. « Game Board or Abacus? Greek Counter Culture Revisited. » Board Game Studies Journal, 16, 1, 2022, pp. 251-307.
- Dasen, Véronique. «Chapitre VI. Jeu ou abaque ?». Le Jeu comme métaphore, Presses universitaires de Liège, 2024.
- Science et Avenir, ‘Voici la plus ancienne représentation d’une leçon de maths datant de la Grèce antique (et vous allez tout comprendre !)’, 6 May 2022.
- O. Lapirot, ‘La plus vieille leçon de maths’, Interview with V. Dasen and J. Gavin, Sciences et Vie Junior, 399, 2022, 38-41.